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若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的解为y=_____________。
若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的解为y=_____________。
admin
2018-12-27
49
问题
若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
,则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的解为y=_____________。
选项
答案
y=-xe
x
+x+2=x(1-e
x
)+2
解析
由齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
可知λ=1是特征方程λ
2
+aλ+b=0的重根,从而可得a=-2,b=1。则原齐次微分方程为y"-2y’+y=x。
设特解y
*
=Ax+B,则(y
*
)’=A,(y
*
)"=0。分别将其代入原微分方程,有-2A+Ax+B=x,比较x的系数知,A=1。于是有-2+B=0,即B=2。所以特解y
*
=x+2。
故非齐次微分方程的通解y=(C
1
+C
2
x)e
x
+x+2,将y(0)=2,y’(0)=0代入,得C
1
=0,C
2
=-1。
因此满足条件的解y=-xe
x
+x+2=x(1-e
x
)+2。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S1M4777K
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考研数学一
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