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  3. 若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_____________。

若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_____________。

admin2018-12-27  35
问题 若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_____________。
选项
答案y=－xex+x+2=x(1－ex)+2
解析 由齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知λ=1是特征方程λ2+aλ+b=0的重根，从而可得a=－2，b=1。则原齐次微分方程为y"－2y’+y=x。
    设特解y*=Ax+B，则(y*)’=A，(y*)"=0。分别将其代入原微分方程，有－2A+Ax+B=x，比较x的系数知，A=1。于是有－2+B=0，即B=2。所以特解y*=x+2。
    故非齐次微分方程的通解y=(C1+C2x)ex+x+2，将y(0)=2,y’(0)=0代入，得C1=0，C2=－1。
    因此满足条件的解y=－xex+x+2=x(1－ex)+2。
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