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[2007年] 设二元函数f(x,y)=计算二重积分f(x,y)dσ,其中D={(x,y)∣∣x∣+∣y∣≤2}.
[2007年] 设二元函数f(x,y)=计算二重积分f(x,y)dσ,其中D={(x,y)∣∣x∣+∣y∣≤2}.
admin
2021-01-19
73
问题
[2007年] 设二元函数f(x,y)=
计算二重积分
f(x,y)dσ,其中D={(x,y)∣∣x∣+∣y∣≤2}.
选项
答案
注意到积分区域D分别关于x轴和y轴对称,被积函数无论是关于x还是关于y都是偶函数,要充分利用它们简化计算. [*] 解一 由区域的对称性和被积函数的奇偶性,有 [*]f(x,y)dσ=4[*]f(x,y)dσ, 其中D
1
为D在第一象限的部分,如图1.5.3.3所示,则 D
1
=D
11
+D
22
={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1一x)+{(x,y)∣1≤x+y≤2,x≥0,y≥0}, 易求得[*]f(x,y)dσ=[*]x
2
dxdy=∫
0
1
dx∫
0
1-x
x
2
dy=[*]. 注意到D
22
上的被积函数为f(x,y)=1/[*]这时需用极坐标系计算的被积函数.为计算D
22
上的二重积分,可引入极坐标系(r,θ).令x=rcosθ,y=rsinθ,在极坐标系(r,θ)中x+y=l的方程为r=1/(cosθ+sinθ),x+y=2的方程为r=2/(cosθ+sinθ), 因而 D
22
={(r,θ)∣0≤θ≤π/2,1/(cosθ+sinθ)≤r≤2/(cosθ+sinθ)}. [*] 故[*]f(x,y)dσ=4[*]f(x,y)dσ=4[[*]+√2ln(1+√2)]=[*]+4√2ln(1+√2).
解析
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