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  3. [2007年] 设二元函数f(x，y)=计算二重积分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)∣∣x∣+∣y∣≤2}．

[2007年] 设二元函数f(x，y)=计算二重积分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)∣∣x∣+∣y∣≤2}．

admin2021-01-19  91
问题 [2007年]  设二元函数f(x，y)=计算二重积分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)∣∣x∣+∣y∣≤2}．
选项
答案注意到积分区域D分别关于x轴和y轴对称，被积函数无论是关于x还是关于y都是偶函数，要充分利用它们简化计算． [*] 解一 由区域的对称性和被积函数的奇偶性，有 [*]f(x，y)dσ=4[*]f(x，y)dσ， 其中D1为D在第一象限的部分，如图1．5．3．3所示，则 D1=D11+D22 ={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1一x)+{(x，y)∣1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}， 易求得[*]f(x，y)dσ=[*]x2dxdy=∫01dx∫01-xx2dy=[*]. 注意到D22上的被积函数为f(x，y)=1／[*]这时需用极坐标系计算的被积函数．为计算D22上的二重积分，可引入极坐标系(r，θ)．令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中x+y=l的方程为r=1／(cosθ+sinθ)，x+y=2的方程为r=2／(cosθ+sinθ)， 因而 D22={(r，θ)∣0≤θ≤π／2，1／(cosθ+sinθ)≤r≤2／(cosθ+sinθ)}． [*] 故[*]f(x，y)dσ=4[*]f(x，y)dσ=4[[*]+√2ln(1+√2)]=[*]+4√2ln(1+√2)．
解析
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考研数学二

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