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  3. 设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

admin2020-08-04  651
问题 设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 由

可知矩阵A的特征值是3，一3，0，故秩r(A)=2，二次型xTAx的正、负惯性指数均为1．
    (A)中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；(C)中矩阵的特征值为3，一3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意．
    对于(D)，记其矩阵为D，由

可知D的特征值为1，一1，0．xTAx与xTDx的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，符合题意，故应选(D)．
    注意，(B)中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数p=2，负惯性指数q=1，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．
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考研数学三

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