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设矩阵,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
设矩阵,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
admin
2020-08-04
663
问题
设矩阵
,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
由
可知矩阵A的特征值是3,一3,0,故秩r(A)=2,二次型x
T
Ax的正、负惯性指数均为1.
(A)中矩阵的秩为1,不可能与矩阵A等价;(C)中矩阵的特征值为3,一3,0,与矩阵A不仅等价、合同,而且也是相似的,不符合题意.
对于(D),记其矩阵为D,由
可知D的特征值为1,一1,0.x
T
Ax与x
T
Dx的正、负惯性指数一样,所以它们合同但不相似(因为特征值不同),符合题意,故应选(D).
注意,(B)中矩阵的特征值为1,4,0,正惯性指数p=2,负惯性指数q=1,与A既不合同也不相似,但等价(因为秩相等).
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考研数学三
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