设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )

admin2014-04-23 65

问题设n维向量α₁,α₂,α₃满足α₁—2α₂+3α₃=0，对任意的n维向量β，向量组α₁+αβ，α₂+bβ，α₃线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )

选项 A、a=b
B、a=一b
C、a=2b
D、a=一26

答案C

解析法一因α₁，α₂，α₃满足α₁－2α₂+3α₃=0(*)，要求向量组α₁+αβ，α₂+bβ，α₃线性相关，其中β是任意向量．利用式(*)，
取常数k₁=1，k₂=一2，k₃=3，对向量组α₁+αβ，α₂+bβ，α₃作线性组合，得(α₁+αβ)一2(α₂+bβ)+3α₃=α₁一2α₂+3α₃+(a一2b)β=(a－2b)β．故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α₁+αβ一2(α₂+bβ)+3α₃=0．
即α=2b时，α₁+αβ，α₂+bβ，α₃对任意β线性相关．故应选C．
法二 α₁+αβ，α₂+bβ，α₃线性相关

r[α₁+αβ，α₂+bβ，α₃]≤2．对矩阵[α₁+αβ，α₂+bβ，α₃]
作初等列变换(不改变秩)有[α₁+bβ，α₂+bβ，α₃]→[α₁+bβ，α₂+bβ．α₁+αβ一2(α₂+bβ)+α₃]→[α₁+αβ，α₂+bβ，(α一2b)β]

[α₁+αβ，α₂+bβ，0]，
故a=2b时，r[α₁+aβ，α₂+bβ，α₃]≤2，α₁+αβ，α₂+bβ，α₃线性相关，应选C．

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考研数学一

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