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设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0,对任意的n维向量β,向量组α1+αβ,α2+bβ,α3线性相关,则参数a,b应满足条件 ( )
设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0,对任意的n维向量β,向量组α1+αβ,α2+bβ,α3线性相关,则参数a,b应满足条件 ( )
admin
2014-04-23
20
问题
设n维向量α
1
,α
2
,α
3
满足α
1
—2α
2
+3α
3
=0,对任意的n维向量β,向量组α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,则参数a,b应满足条件 ( )
选项
A、a=b
B、a=一b
C、a=2b
D、a=一26
答案
C
解析
法一 因α
1
,α
2
,α
3
满足α
1
-2α
2
+3α
3
=0(*),要求向量组α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,其中β是任意向量.利用式(*),
取常数k
1
=1,k
2
=一2,k
3
=3,对向量组α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
作线性组合,得(α
1
+αβ)一2(α
2
+bβ)+3α
3
=α
1
一2α
2
+3α
3
+(a一2b)β=(a-2b)β.故当a=2b时,对任意的n维向量β均有α
1
+αβ一2(α
2
+bβ)+3α
3
=0.
即α=2b时,α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
对任意β线性相关.故应选C.
法二 α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关
r[α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
]≤2.对矩阵[α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
]
作初等列变换(不改变秩)有[α
1
+bβ,α
2
+bβ,α
3
]→[α
1
+bβ,α
2
+bβ.α
1
+αβ一2(α
2
+bβ)+α
3
]→[α
1
+αβ,α
2
+bβ,(α一2b)β]
[α
1
+αβ,α
2
+bβ,0],
故a=2b时,r[α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
]≤2,α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,应选C.
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考研数学一
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