设有n元二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.

admin2021-02-25  32

问题 设有n元二次型
    f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.

选项

答案由题设知,对任意的实数x1,x2,…,xn,有 f(x1,x2,…,xn)≥0, 其中等号成立当且仅当 [*] 该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 所以当1+(-1)n+1α1α2…αn≠0时,对任意n个不全为零的实数x1,x2,…,xn,都有 f(x1,x2,…,xn)>0, 即当a1a2…an≠(-1)n时,二次型 f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.

解析 本题考查正定二次型的判定方法.将二次型f(x1,x2,…,xn)的正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决.
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