2. 考研
  3. 设有n元二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．

设有n元二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．

admin2021-02-25  29
问题 设有n元二次型
    f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
选项
答案由题设知，对任意的实数x1，x2，…，xn，有 f(x1，x2，…，xn)≥0， 其中等号成立当且仅当 [*] 该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 所以当1+(-1)n+1α1α2…αn≠0时，对任意n个不全为零的实数x1，x2，…，xn，都有 f(x1，x2，…，xn)＞0， 即当a1a2…an≠(-1)n时，二次型 f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
解析 本题考查正定二次型的判定方法．将二次型f(x1，x2，…，xn)的正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决．
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考研数学二

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