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设有n元二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.
设有n元二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型.
admin
2021-02-25
46
问题
设有n元二次型
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数.试问当a
1
,a
2
,…,a
n
满足何种条件时,二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型.
选项
答案
由题设知,对任意的实数x
1
,x
2
,…,x
n
,有 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)≥0, 其中等号成立当且仅当 [*] 该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 所以当1+(-1)
n+1
α
1
α
2
…α
n
≠0时,对任意n个不全为零的实数x
1
,x
2
,…,x
n
,都有 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)>0, 即当a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
时,二次型 f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型.
解析
本题考查正定二次型的判定方法.将二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9K84777K
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考研数学二
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