(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annkf(A)的对角线元素

admin2016-10-21 49

问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂A^k与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A^k的对角线元素为a₁₁^k，a₂₂^k，…，a_nn^kf(A)的对角线元素为f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．(a₁₁，a₂₂，…，a_nn是A的对角线元素．)

选项

答案(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C＝AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞时，c_ij＝0．c_ij＝A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i－1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n－j个分量都是0，而i－1＋n－j＝n＋(i－j－1)≥n，因此c_ij＝0． ii＝a_i1b_1i＋…＋a_ii-1b_i-1i＋a_iib_ii＋a_ii+1＋b_i+1i＋…＋a_inb_ni a_iib_ii(a_i1＝…＝a_ii-1＝0，b_i+1i＝…＝b_ni＝0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得A^k是上三角矩阵，并且对角线元素为a₁₁^k，a₂₂^k，…，a_nn^k．设f(A)＝a_mA^m＋a_m-1A^m-1＋…＋a₁A＋a₀E．a_iAⁱ都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．

解析

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考研数学二

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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annkf(A)的对角线元素

考研数学二

设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．

设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛并求其极限．

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x-sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．

证明

若f(x)在[0,a]上连续，a＞0,且f"(x)≥0,证明：∫abf(x)dx≥a.

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(－x)=A（A为常数）证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

设f(x)在[0,+∞)上连续，且∫01f(x)dx＜－,证明：至少存在一个ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0

设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数f"(x)≤0,试证明：∫01f(x2)dx≤

混凝土拌合物坍落度的检测，每一工作班或每一单元结构物不应少于()次。

关于钢筋混凝土预制桩的接桩方式的说法，不正确的是()。

各种账簿应按页次顺序连续登记，不得跳行、隔页。如果发生跳行、隔页，应当将空行、空页划线注销，或者注明“此行空白”、“此页空白”字样，并由记账人员签名或者盖章。()

中国教育史上第一个正式颁布的学制是________。

一些贫困地区之所以贫困，除了地理__、生存环境恶劣，其实背后也存在_的贫困。这种贫困既包括不能______地享受社保、教育、公共设施等，也包括土地、财产权益的诸多限制。填入画横线部分最恰当的一项是：

下列关于国家机构和社会组织区别的表述，错误的是()。

(1)x∈[一1，0](2)

为宣传变法维新，康有为曾先后7次向光绪皇帝上书，其中最著名的是他在1895年联合在京参加会试的举人共同发起的()

在关系书(书名、作者姓名、作者电话)中，主键是(　　)。

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设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．

设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛并求其极限．

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x-sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．

证明

若f(x)在[0,a]上连续，a＞0,且f"(x)≥0,证明：∫abf(x)dx≥a.

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(－x)=A（A为常数）证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

设f(x)在[0,+∞)上连续，且∫01f(x)dx＜－,证明：至少存在一个ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0

设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数f"(x)≤0,试证明：∫01f(x2)dx≤

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(1)x∈[一1，0](2)

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在关系书(书名、作者姓名、作者电话)中，主键是( )。

一些贫困地区之所以贫困，除了地理__、生存环境恶劣，其实背后也存在_的贫困。这种贫困既包括不能______地享受社保、教育、公共设施等，也包括土地、财产权益的诸多限制。填入画横线部分最恰当的一项是：

在关系书(书名、作者姓名、作者电话)中，主键是(　　)。