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设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).
admin
2022-09-23
49
问题
设f(x)在[a,b]上连续,任取x
i
∈[a,b](i=1,2,…,n),任取k
i
>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ).
选项
答案
因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M,显然有m≤f(x
i
)≤M(i=1,2,…,n),注意到k
i
>0(i=1,2,…,n),所以有k
i
m≤k
i
f(x
i
)≤k
i
M(i=1,2,…,n),同向不等式相加,得(k
1
+k
2
+…+k
n
)m≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)≤(k
1
+k
2
+…+k
n
)M,即m≤[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]/(k
1
+k
2
+…+k
n
)≤M,由介值定理,存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]/(k
1
+k
2
+…+k
n
),即[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ).
解析
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考研数学三
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