设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).

admin2022-09-23  23

问题 设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).

选项

答案因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M,显然有m≤f(xi)≤M(i=1,2,…,n),注意到ki>0(i=1,2,…,n),所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1,2,…,n),同向不等式相加,得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M,即m≤[k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)]/(k1+k2+…+kn)≤M,由介值定理,存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=[k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)]/(k1+k2+…+kn),即[k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)]=(k1+k2+…+kn)f(ξ).

解析
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