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设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. 证明在[-a,a]上至少存在一点η,使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. 证明在[-a,a]上至少存在一点η,使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。
admin
2022-10-08
76
问题
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.
证明在[-a,a]上至少存在一点η,使得a
3
f"(η)=3∫
-a
a
f(x)dx。
选项
答案
∫
-a
a
f(x)dx=∫
-a
a
f’(0)xdx+[*]=[*]∫
-a
a
x
2
f"(ξ)dx 因为f"(x)在[-a,a]上连续,故对任意的x∈[-a,a],有m≤f”(x)≤M,其中M,m分别为f"(x)在[-a,a]上的最大值,最小值,所以有 m∫
0
a
x
2
dx≤∫
-a
a
f(x)dx=[*]∫
-a
a
x
2
f"(ξ)dx≤M∫
0
a
x
2
dx 即m≤[*]≤M 因而由f”(x)的连续性可知,至少存在一点η∈[-a,a],使得 f”(η)=[*]∫
-a
a
f(x)dx,即a
3
f"(η)=3∫
-a
a
f(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1YR4777K
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考研数学三
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