设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. 证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

admin2022-10-08 99

问题设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.

证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a³f"(η)=3∫_-a^af(x)dx。

选项

答案∫_-a^af(x)dx=∫_-a^af’(0)xdx+[*]=[*]∫_-a^ax²f"(ξ)dx 因为f"(x)在[－a,a]上连续，故对任意的x∈[－a,a],有m≤f”(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[－a,a]上的最大值，最小值，所以有 m∫₀^ax²dx≤∫_-a^af(x)dx=[*]∫_-a^ax²f"(ξ)dx≤M∫₀^ax²dx 即m≤[*]≤M 因而由f”(x)的连续性可知，至少存在一点η∈[－a,a],使得 f”(η)=[*]∫_-a^af(x)dx,即a³f"(η)=3∫_-a^af(x)dx

解析

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考研数学三

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