设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. 证明在[-a,a]上至少存在一点η,使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

admin2022-10-08  44

问题 设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.

证明在[-a,a]上至少存在一点η,使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

选项

答案-aaf(x)dx=∫-aaf’(0)xdx+[*]=[*]∫-aax2f"(ξ)dx 因为f"(x)在[-a,a]上连续,故对任意的x∈[-a,a],有m≤f”(x)≤M,其中M,m分别为f"(x)在[-a,a]上的最大值,最小值,所以有 m∫0ax2dx≤∫-aaf(x)dx=[*]∫-aax2f"(ξ)dx≤M∫0ax2dx 即m≤[*]≤M 因而由f”(x)的连续性可知,至少存在一点η∈[-a,a],使得 f”(η)=[*]∫-aaf(x)dx,即a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx

解析
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