设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件 f(x)+f(－x)=A（A为常数）证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

admin2022-10-08 105

问题设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件
f(x)+f(－x)=A（A为常数）

证明：∫_-a^af(x)g(x)dx=A∫₀^ag(x)dx

选项

答案∫_-a^af(x)g(x)dx=∫_-a⁰f(x)g(x)dx+∫₀^af(x)g(x)dx而 ∫_-a⁰f(x)g(x)dx[*]－∫_a⁰f(－t)g(－t)dt=∫₀^af(－x)g(x)dx 于是 ∫_-a^af(x)g(x)dx=∫₀^af(－x)g(x)dx+∫₀^af(x)g(x)dx =∫₀^a[f(x)+f(－x)]g(x)dx=A∫₀^ag(x)dx

解析

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考研数学三

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设求
已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x，令P=(x，Ax，A2x)．求3阶矩阵B，使A=PBP-1；
已知向量组A：α1=(0，1，2，3)T，α2=(3，0，1，2)T，α3=(2，3，0，1)T；B：β1=(2,1，1，2)T，β2=(0，-2，1，1)T，β3=(4，4，1，3)T．试证B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示．
已知向量组α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，一1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，6+3，5)T．问：a，b为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示；
讨论曲线y=ln4x+4x与y=41nx+k交点的个数．
设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得成立．
证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx．

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张某、李某、王某、赵某共同出资设立了一有限责任公司，注册资本为60万元，下列说法错误的是()。
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(2010年试题，18)求幂级数的收敛域与和函数．

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