设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件 f(x)+f(－x)=A（A为常数）证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

admin2022-10-08 99

问题设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件
f(x)+f(－x)=A（A为常数）

证明：∫_-a^af(x)g(x)dx=A∫₀^ag(x)dx

选项

答案∫_-a^af(x)g(x)dx=∫_-a⁰f(x)g(x)dx+∫₀^af(x)g(x)dx而 ∫_-a⁰f(x)g(x)dx[*]－∫_a⁰f(－t)g(－t)dt=∫₀^af(－x)g(x)dx 于是 ∫_-a^af(x)g(x)dx=∫₀^af(－x)g(x)dx+∫₀^af(x)g(x)dx =∫₀^a[f(x)+f(－x)]g(x)dx=A∫₀^ag(x)dx

解析

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