2. 考研
  3. 给定两正数a1与b1(a1＞b1)，作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令 an+1=，bn+1=(n=1，2，…)． 证明：an与bn皆存在且相等．

给定两正数a1与b1(a1＞b1)，作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令 an+1=，bn+1=(n=1，2，…)． 证明：an与bn皆存在且相等．

admin2022-10-31  36
问题 给定两正数a1与b1(a1＞b1)，作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令
    an+1=，bn+1=(n=1，2，…)．
    证明：an与bn皆存在且相等．
选项
答案由a1＞0，b1＞0可知an＞0，bn＞0(n=1，2，…)，因而 an+1=[*]=bn+1，n=1，2．… 又因为a1＞b1，所以an＞bn(n=1，2，…)， bn+1=[*]=bn，an+1=[*]=an，因此，{an}单调递减，{bn}单调递增，并且0＜b1≤bn≤an≤a1，即{an}，{bn}都是有界的．由单调有界定理知{an}，{bn}的极限都存在．设[*]an=a,[*]bn=b，对an+1=[*]两边取极限。得a=[*]，于是a=b，即[*]an与[*]bn皆存在且相等．
解析
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考研数学三

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