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给定两正数a1与b1(a1>b1),作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令 an+1=,bn+1=(n=1,2,…). 证明:an与bn皆存在且相等.
给定两正数a1与b1(a1>b1),作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令 an+1=,bn+1=(n=1,2,…). 证明:an与bn皆存在且相等.
admin
2022-10-31
67
问题
给定两正数a
1
与b
1
(a
1
>b
1
),作出其等差中项a
2
=
与等比中项b
2
=
一般地令
a
n+1
=
,b
n+1
=
(n=1,2,…).
证明:
a
n
与
b
n
皆存在且相等.
选项
答案
由a
1
>0,b
1
>0可知a
n
>0,b
n
>0(n=1,2,…),因而 a
n+1
=[*]=b
n+1
,n=1,2.… 又因为a
1
>b
1
,所以a
n
>b
n
(n=1,2,…), b
n+1
=[*]=b
n
,a
n+1
=[*]=a
n
,因此,{a
n
}单调递减,{b
n
}单调递增,并且0<b
1
≤b
n
≤a
n
≤a
1
,即{a
n
},{b
n
}都是有界的.由单调有界定理知{a
n
},{b
n
}的极限都存在.设[*]a
n
=a,[*]b
n
=b,对a
n+1
=[*]两边取极限。得a=[*],于是a=b,即[*]a
n
与[*]b
n
皆存在且相等.
解析
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考研数学三
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