2. 考研
  3. 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1／2，0)。 (Ⅰ)试求曲线L的方程； (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1／2，0)。 (Ⅰ)试求曲线L的方程； (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

admin2018-04-14  103
问题 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1／2，0)。
(Ⅰ)试求曲线L的方程；
(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
选项
答案(Ⅰ)设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y－y=y’(X－x)，令X=0，则Y=－xy’+y，即它在y轴上的截距为－xy’+y。 根据两点(x，y)，(x0，y0)距离公式d=[*]所以原点到点P(x，y)的距离为[*]，由题设P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，所以 [*] 此为一阶齐次方程，按规范方法解之，令y=ux，则dy／dx=u+xdu，代入，方程变为 [*] 由题设曲线经过点(1／2，0)，代入得0+[*]=C，则C=1／2，故所求方程为 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知y=[*]－x2，则y’=－2x，点P(x，y)=P(x，[*]－x2)，所以在点P处的切线方程为 Y－([*]－x2)=－2x(X－x)， 分别令X=0，Y=0，解得在Y轴，x轴上的截距分别为x2+[*] 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=1／2([*])=1＝64x(4x2+1)2，x＞0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记S0，于是题中所要求的面积为 S(x)=A(x)－S0=1／64x(4x2+1)2－S0， 求最值点时与S0无关，以下按微分学的办法求最值点。 [*] 根据极值存在的第一充分条件：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心δ邻域内可导，若x∈(x0－δ，x0)时，f’(x)＞0，而x∈(x0，x0+δ)时，f’(x)＜0，则f(x)在x0处取得极大值，知：x=[*]是S(x)在x＞0处的唯一极小值点，即最小值点。 于是所求切线方程为： [*]
解析
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