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设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0)。 (Ⅰ)试求曲线L的方程; (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0)。 (Ⅰ)试求曲线L的方程; (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
admin
2018-04-14
103
问题
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0)。
(Ⅰ)试求曲线L的方程;
(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
选项
答案
(Ⅰ)设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Y-y=y’(X-x),令X=0,则Y=-xy’+y,即它在y轴上的截距为-xy’+y。 根据两点(x,y),(x
0
,y
0
)距离公式d=[*]所以原点到点P(x,y)的距离为[*],由题设P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,所以 [*] 此为一阶齐次方程,按规范方法解之,令y=ux,则dy/dx=u+xdu,代入,方程变为 [*] 由题设曲线经过点(1/2,0),代入得0+[*]=C,则C=1/2,故所求方程为 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知y=[*]-x
2
,则y’=-2x,点P(x,y)=P(x,[*]-x
2
),所以在点P处的切线方程为 Y-([*]-x
2
)=-2x(X-x), 分别令X=0,Y=0,解得在Y轴,x轴上的截距分别为x
2
+[*] 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=1/2([*])=1=64x(4x
2
+1)
2
,x>0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记S
0
,于是题中所要求的面积为 S(x)=A(x)-S
0
=1/64x(4x
2
+1)
2
-S
0
, 求最值点时与S
0
无关,以下按微分学的办法求最值点。 [*] 根据极值存在的第一充分条件:设函数f(x)在x
0
处连续,且在x
0
的某去心δ邻域内可导,若x∈(x
0
-δ,x
0
)时,f’(x)>0,而x∈(x
0
,x
0
+δ)时,f’(x)<0,则f(x)在x
0
处取得极大值,知:x=[*]是S(x)在x>0处的唯一极小值点,即最小值点。 于是所求切线方程为: [*]
解析
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考研数学二
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