设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使 a3f"(η)＝3∫－aaf(x)dx．

admin2014-07-22 99

问题设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使
a³f"(η)＝3∫_－a^af(x)dx．

选项

答案(1)对任意x∈[－a，a]， [*] 其中ξ在0与x之间． (2)[*] 因为f"(x)在[－a，a]上连续，故对任意的x∈[－a，a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[－a，a]上的最大、最小值，于是有 [*] 即[*] 因此，由f"(x)在[－a，a]上的连续性知，至少存在一点η∈[－a，a]，使 [*] 即a³f"(η)＝3∫_－a^af(x)dx．

解析 [分析] (1)直接套公式即可，f(x)的带拉格朗日余项的”阶麦克劳林公式为：