2. 考研
  3. 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明：ヨx0∈(2π，5π／2)使得∥F"(x0)=0．

已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明：ヨx0∈(2π，5π／2)使得∥F"(x0)=0．

admin2018-06-15  77
问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明：ヨx0∈(2π，5π／2)使得∥F"(x0)=0．
选项
答案显然F(0)=F(π／2)=0，于是由罗尔定理知，ヨx1∈(0，π／2)，使得F’(x1)=0．又 F’(x)=2(sinx－1)cosxf(x)+(sinx－1)2f’(x)， [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈(x1，π／2)[*](0，π／2)，使得F"(x0*)=0． 注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数，于是ヨx0=2π+x0*，即x0∈(2π，5／2π)，使得 F"(x0)=F"(x0*)=0．
解析
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考研数学一

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