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  3. [2007年] 将函数展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间．

[2007年] 将函数展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间．

admin2019-03-30  45
问题 [2007年]  将函数展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间．
选项
答案解一 [*] 而 [*] 则 [*] 由命题1．5．2．3(2)知，其收敛区间为|x－1|＜3与|x－1|<2的交集|x－1|＜2，即一1＜x＜3． (注：命题1．5．2．3(2)(2)设幂级数[*]的收敛区间分别为(－Ra，Ra)与(－Rb，Rb)(这里不考虑在区间端点处是否收敛)，则在(－Ra，Ra)与(－Rb，Rb)的公共部分区间上即在其交的区间(－Ra，Ra)∩(－Rb，Rb)上两个幂级数之和 [*] 收敛．因而它们可以像两个多项式一样逐项相加减．) 解二 不直接展成x－1的幂级数(广义幂级数)，先作代换．令x－1=t，即x=t+1，得 [*] 而 [*] 将式⑤、式⑥代入式④可得f(x)的展开式为 [*] 上述f(x)的展开式可视为两级数⑤与⑥之和．由命题1．5．2．3(2)知，当|t|＜2即|x－1|＜2时，展开式⑦收敛，因而展开式的收敛区间是|x－1|＜2，即－1＜x＜3．
解析
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考研数学三

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