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[2007年] 将函数展开成x-1的幂级数,并指出其收敛区间.
[2007年] 将函数展开成x-1的幂级数,并指出其收敛区间.
admin
2019-03-30
63
问题
[2007年] 将函数
展开成x-1的幂级数,并指出其收敛区间.
选项
答案
解一 [*] 而 [*] 则 [*] 由命题1.5.2.3(2)知,其收敛区间为|x-1|<3与|x-1|<2的交集|x-1|<2,即一1<x<3. (注:命题1.5.2.3(2)(2)设幂级数[*]的收敛区间分别为(-R
a
,R
a
)与(-R
b
,R
b
)(这里不考虑在区间端点处是否收敛),则在(-R
a
,R
a
)与(-R
b
,R
b
)的公共部分区间上即在其交的区间(-R
a
,R
a
)∩(-R
b
,R
b
)上两个幂级数之和 [*] 收敛.因而它们可以像两个多项式一样逐项相加减.) 解二 不直接展成x-1的幂级数(广义幂级数),先作代换.令x-1=t,即x=t+1,得 [*] 而 [*] 将式⑤、式⑥代入式④可得f(x)的展开式为 [*] 上述f(x)的展开式可视为两级数⑤与⑥之和.由命题1.5.2.3(2)知,当|t|<2即|x-1|<2时,展开式⑦收敛,因而展开式的收敛区间是|x-1|<2,即-1<x<3.
解析
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考研数学三
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