[2007年] 将函数展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间．

admin2019-03-30 49

问题 [2007年] 将函数

展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间．

选项

答案解一 [*] 而 [*] 则 [*] 由命题1．5．2．3(2)知，其收敛区间为|x－1|＜3与|x－1|<2的交集|x－1|＜2，即一1＜x＜3． (注：命题1．5．2．3(2)(2)设幂级数[*]的收敛区间分别为(－R_a，R_a)与(－R_b，R_b)(这里不考虑在区间端点处是否收敛)，则在(－R_a，R_a)与(－R_b，R_b)的公共部分区间上即在其交的区间(－R_a，R_a)∩(－R_b，R_b)上两个幂级数之和 [*] 收敛．因而它们可以像两个多项式一样逐项相加减．) 解二不直接展成x－1的幂级数(广义幂级数)，先作代换．令x－1=t，即x=t+1，得 [*] 而 [*] 将式⑤、式⑥代入式④可得f(x)的展开式为 [*] 上述f(x)的展开式可视为两级数⑤与⑥之和．由命题1．5．2．3(2)知，当|t|＜2即|x－1|＜2时，展开式⑦收敛，因而展开式的收敛区间是|x－1|＜2，即－1＜x＜3．

解析

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考研数学三

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设z＝f(x2＋y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二阶连续可偏导，求．

设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3线性无关．

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