2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．

admin2018-09-20  39
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．
选项
答案令F(x)=f(x)g(x)，在点x=a处展开成泰勒公式，有 F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+[*]F"(ξ)(x一a)a(a＜ξ＜x)． ① 令x=b，代入①式，则 F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+[*](b一a)2(a＜ξ＜b)． ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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