已知矩阵A，B，A＋B均可逆，证明：A－1＋B－1也可逆，且(A－1＋B－1)－1＝A(A＋B)－1B．

admin2019-05-09 3

问题已知矩阵A，B，A＋B均可逆，证明：A^－1＋B^－1也可逆，且(A^－1＋B^－1)^－1＝A(A＋B)^－1B．

选项

答案由A，B，A＋B均可逆．则(A^－1＋B^－1)A(A＋B)^－1B ＝(E＋B^－1A)(A＋B)^－1B ＝(B^－1B＋B^－1A)(A＋B)^－1B ＝B^－1(B＋A)(A＋B)^－1B ＝B^－1B ＝E．故A^－1＋B^－1可逆，且(A^－1＋B^－1)^－1＝A(A＋B)^－1B．

解析

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