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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32,其中x=(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T是三维列向量,P是三阶正交矩阵,求常数a,b的值.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32,其中x=(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T是三维列向量,P是三阶正交矩阵,求常数a,b的值.
admin
2014-10-27
69
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2x
1
x
3
+2bx
2
x
3
经过正交变换x=Py化成f=y
2
2
+2y
3
2
,其中x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,y=(y
1
,y
2
,y
3
)
T
是三维列向量,P是三阶正交矩阵,求常数a,b的值.
选项
答案
根据假设条件知,变换后二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的矩阵分别为[*] 二次型f可以写成f=X
T
AX,f=Y
T
BY. 由于P
T
AP=B,且P为正交矩阵,故P
T
=P
-1
,于是有P
-1
AP=B,即A~B,所以有|λI—A|=|λI—B|,即[*] 由此可得方程λ
2
一3λ
2
+(2一a
2
一b
2
)λ+(a一b)
2
=λ
2
一3λ
2
+2λ,从而有方程组[*] 解之得a一b=0,为所求的常数.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
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线性代数(经管类)
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