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用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
admin
2019-06-01
113
问题
用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
选项
答案
设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为h=[*]=4.5—3x(m)(0<x<[*]). 故长方体的体积为V(x)=2x
2
(4.5—3x)=9x
2
-6x
3
(m
3
)(0<x<[*]). 从而V'(x)=18x-18x
2
=18x(1-x).令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1. 当0<x<1时,V'(x)>0;当1<x<[*]时,V'(x)<0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.从而最大体积V=9×1
2
-6×1
3
=3(m
3
),此时长方体的长为2m,高为1.5m. 答:当长方体的长为2m,宽为lm,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m
3
.
解析
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