已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(一2,0),离心率为. 设O为坐标原点,T为直线x=一3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.

admin2019-08-05  7

问题 已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(一2,0),离心率为
设O为坐标原点,T为直线x=一3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.

选项

答案设T点的坐标为(一3,m),则直线TF的斜率是kTF=[*]=一m. 当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=[*].直线PQ的方程是x=my一2. 当m=0时,直线PQ的方程是x=一2,也符合x=my一2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得[*]. 消去x,得:(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式△=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0.所以y1y2=[*],y1y2=[*],x1+x2=m(y1+y2)一4=[*]. 因为四边形OPTQ是平行四边形,所以[*],即(x1,y1)=(一3一x2,m—y2).所以[*]. 解得:m=±1.此时,四边形OPTQ的面积SOPTQ=2SOPQ=[*].

解析
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