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已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(一2,0),离心率为. 设O为坐标原点,T为直线x=一3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(一2,0),离心率为. 设O为坐标原点,T为直线x=一3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
admin
2019-08-05
11
问题
已知椭圆
=1(a>b>0)的左焦点为F(一2,0),离心率为
.
设O为坐标原点,T为直线x=一3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
选项
答案
设T点的坐标为(一3,m),则直线TF的斜率是k
TF
=[*]=一m. 当m≠0时,直线PQ的斜率k
PQ
=[*].直线PQ的方程是x=my一2. 当m=0时,直线PQ的方程是x=一2,也符合x=my一2的形式. 设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得[*]. 消去x,得:(m
2
+3)y
2
-4my-2=0,其判别式△=16m
2
+8(m
2
+3)=24(m
2
+1)>0.所以y
1
y
2
=[*],y
1
y
2
=[*],x
1
+x
2
=m(y
1
+y
2
)一4=[*]. 因为四边形OPTQ是平行四边形,所以[*],即(x
1
,y
1
)=(一3一x
2
,m—y
2
).所以[*]. 解得:m=±1.此时,四边形OPTQ的面积S
OPTQ
=2S
OPQ
=[*].
解析
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