2. 考研
  3. 设参数方程 求证： (Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π)； (Ⅱ)y=y(x)在[0，π]单调上升，在[π，2π]单调下降； (Ⅲ)y=y(x)在[0，2π]是凸函数．

设参数方程 求证： (Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π)； (Ⅱ)y=y(x)在[0，π]单调上升，在[π，2π]单调下降； (Ⅲ)y=y(x)在[0，2π]是凸函数．

admin2015-12-22  53
问题 设参数方程
       
求证：
    (Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π)；
    (Ⅱ)y=y(x)在[0，π]单调上升，在[π，2π]单调下降；
    (Ⅲ)y=y(x)在[0，2π]是凸函数．
选项
答案(Ⅰ)证明x=φ(t)在[0，2π]存在连续的反函数； (Ⅱ)证明[*] 　　(Ⅲ)证明[*] 证 (Ⅰ)φ′(t)=1一cost＞0 (t∈(0，2π))， φ′(0)=φ′(2π)=0， 又φ(t)在[0，2π]上连续，故φ(t)在[0，2π]上单调上升，值域为 [φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]， 得x=φ(t)在[0，2π]上存在连续的反函数t=t(x)，定义域为[0，2π]． 因此，[*]在[0，2π]上连续． (Ⅱ)由反函数的可导性及复合函数的可导性知，y=y(x)在(0，2π)内可导，由参数式求导法，有 [*] 由于t∈[0，π]，有 x∈[0，π]；t∈[π，2π]， x∈[π，2π]， 于是 [*] 因此，y=y(x)在[0，π]上单调上升，在[π，2π]上单调下降． (Ⅲ)由于y(x)在[0，2π]上连续，则由x∈(0，2π)时，有 [*] (t∈(0，2π)，即x∈(0，2π))．y=y(x)在[0，2π]上是凸函数．
解析
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考研数学二

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