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设参数方程 求证: (Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π); (Ⅱ)y=y(x)在[0,π]单调上升,在[π,2π]单调下降; (Ⅲ)y=y(x)在[0,2π]是凸函数.
设参数方程 求证: (Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π); (Ⅱ)y=y(x)在[0,π]单调上升,在[π,2π]单调下降; (Ⅲ)y=y(x)在[0,2π]是凸函数.
admin
2015-12-22
31
问题
设参数方程
求证:
(Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π);
(Ⅱ)y=y(x)在[0,π]单调上升,在[π,2π]单调下降;
(Ⅲ)y=y(x)在[0,2π]是凸函数.
选项
答案
(Ⅰ)证明x=φ(t)在[0,2π]存在连续的反函数; (Ⅱ)证明[*] (Ⅲ)证明[*] 证 (Ⅰ)φ′(t)=1一cost>0 (t∈(0,2π)), φ′(0)=φ′(2π)=0, 又φ(t)在[0,2π]上连续,故φ(t)在[0,2π]上单调上升,值域为 [φ(0),φ(2π)]=[0,2π], 得x=φ(t)在[0,2π]上存在连续的反函数t=t(x),定义域为[0,2π]. 因此,[*]在[0,2π]上连续. (Ⅱ)由反函数的可导性及复合函数的可导性知,y=y(x)在(0,2π)内可导,由参数式求导法,有 [*] 由于t∈[0,π],有 x∈[0,π];t∈[π,2π], x∈[π,2π], 于是 [*] 因此,y=y(x)在[0,π]上单调上升,在[π,2π]上单调下降. (Ⅲ)由于y(x)在[0,2π]上连续,则由x∈(0,2π)时,有 [*] (t∈(0,2π),即x∈(0,2π)).y=y(x)在[0,2π]上是凸函数.
解析
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考研数学二
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