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设向量组α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,a)T线性表示. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示.
设向量组α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,a)T线性表示. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示.
admin
2017-04-24
39
问题
设向量组α
1
=(1,0,1)
T
,α
2
=(0,1,1)
T
,α
3
=(1,3,5)
T
不能由向量组β
1
=(1,1,1)
T
,β
2
=(1,2,3)
T
,β
3
=(3,4,a)
T
线性表示.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)将β
1
,β
2
,β
3
用α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
4个3维向量β
1
,β
2
,β
3
,α
i
线性相关(i=1,2,3),若β
1
,β
2
,β
3
线性无关,则α
i
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示(i=1,2,3),这与题设矛盾,于是β
1
,β
2
,β
3
线性相关,从而 0=|β
1
,β
2
,β
3
|=[*] 于是a=5.此时,α
1
不能由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示. 考虑下列矩阵的初等行变换 [β
1
,β
2
,β
3
|α
1
,α
2
,α
3
]=[*] 可见当a≠5时,α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示;当a=5时,α
1
,α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故a=5. (Ⅱ)令矩阵A=[α
1
,α
2
,α
3
|β
1
,β
2
,β
3
],对A施行初等行变换 [*] 从而,β
1
=2α
1
+4α
2
一α
3
,β
2
=α
1
+2α
2
,β
3
=5α
1
+10α
2
一 2α
3
.
解析
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