2. 考研
  3. 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．

admin2017-04-24  41
问题 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
选项
答案4个3维向量β1，β2，β3，αi线性相关(i=1，2，3)，若β1，β2，β3线性无关，则αi可由β1，β2，β3线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是β1，β2，β3线性相关，从而 0=|β1，β2，β3|=[*] 于是a=5．此时，α1不能由向量组β1，β2，β3线性表示． 考虑下列矩阵的初等行变换 [β1，β2，β3|α1，α2，α3]=[*] 可见当a≠5时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示；当a=5时，α1，α2不能由β1，β2，β3线性表示，故a=5． (Ⅱ)令矩阵A=[α1，α2，α3|β1，β2，β3]，对A施行初等行变换 [*] 从而，β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2一 2α3．
解析
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考研数学二

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