二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充要条件是( )

admin2018-04-14 357

问题二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充要条件是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析选项A证明f(x，y)在点(0，0)处连续。选项B证明两个一阶偏导数f_x’(0，0)=0，f_y’(0，0)=0存在，因此A、B均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微。
选项D只能得到两个一阶偏导数f_x’(0，0)，f_y’(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导函数f_x’(x，y)，f_y’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微。
由选项C中极限式

可知f(x，y)－f(0，0)=o(

)=0．x+0．y+0(

)，
其中ρ=

。对照全微分定义，相当于x₀=0，y₀=0，△x=x，△y=y，A=0，B=0。可见f(x，y)在(0，0)点可微，故选择C。

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