设f(x)是连续函数． (1)求初值问题的解，其中a＞0； (2)若｜f(x)｜≤k，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(eax-1)．

admin2018-05-22 72

问题设f(x)是连续函数．
(1)求初值问题

的解，其中a＞0；
(2)若｜f(x)｜≤k，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤

(e^ax-1)．

选项

答案(1)y’+ay=f(x)的通解为y=[∫₀^xf(t)e^atdt+C]e^-ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e^-ax∫₀^xf(t)e^atdt． (2)当x≥0时，｜y｜=e^ax｜∫₀^xf(t)e^atdt｜≤e^-ax∫₀^xf(t)｜e^atdt≤ke^-ax∫₀^xe^atdt=[*]e^-ax(e^ax-1)，因为e^-ax≤1，所以｜y｜≤[*](e^ax-1)．

解析

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考研数学二

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