设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A2a+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2016-10-24 50

问题设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
若A²a+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

选项

答案由A²α+Aα一6α=0，得(A²+A一6E)α=0，因为α≠0，所以r(A²+A一6E)＜2，从而|A²+A一6E|=0，即 |3E+A|．|2E一A|=0，则|3E+A|=0或|2E一A|=0．若|3E+A|≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E一A)α=0，得 (2E一A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若|2E一A|≠0，则2E一A可逆，由(2E一A)(3E+A)α=0，得 (3E+A)α=0，即Aα=一3α，矛盾，所以有|3E+A|=0且|2E一A|=0，于是二阶矩阵A有两个特征值一3，2，故A可对角化．

解析

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考研数学三

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已知a＝(1，5，3)，b＝(6，－4，－2)，c＝(0，－5，7)，d＝(－20，27，－35)，求数x，y，z使向量xa，yb，zc及d可构成封闭折线．
求由下列方程所确定的隐函数y＝y(x)的二阶导数d2y／dx2：(1)y＝1＋xey；(2)y＝tan(x＋y)；
证明：与锥面z2＝x2＋y2相切的平面通过坐标原点．
设l1＝(1，1)，l2＝(－1，1)，分别求出函数z＝xy在点(0，0)处沿方向l1和方向l2的二阶方向导数．
求下列向量场A沿定向闭曲线Γ的环流量：(1)A＝－yi＋xj＋ck(c为常数)，Γ为圆周x2＋y2＝1，z＝0，从z轴正向看去，Γ取逆时针方向；(2)A＝3yi－xzj＋yz2k，Γ为圆周x2＋y2＝4，z＝1，从z轴正向看去，Γ取逆时针方向．
若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E｜=_________.
设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是________.
设n阶实对称矩阵A满足条件A2+6A+8E=O，且A+tE是正定矩阵，则t的取值范围为_______．
设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则｜BA*｜＝_________．

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