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求下列微分方程的通解: (Ⅰ) y"一3y’=2—6x; (Ⅱ) y"+y=2cosx; (Ⅲ) y"+4y’+5y=40cos3x.
求下列微分方程的通解: (Ⅰ) y"一3y’=2—6x; (Ⅱ) y"+y=2cosx; (Ⅲ) y"+4y’+5y=40cos3x.
admin
2017-10-23
60
问题
求下列微分方程的通解:
(Ⅰ) y"一3y’=2—6x;
(Ⅱ) y"+y=2cosx;
(Ⅲ) y"+4y’+5y=40cos3x.
选项
答案
(Ⅰ)先求对应齐次微分方程的通解,因其特征方程为λ
2
—3λ=λ(λ一3)=0,故通解为 [*](x)=C
1
+C
2
e
3x
. 再求非齐次微分方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且0是特征方程的单根,所以特解应具形式y
*
(x)=x(Ax+B),代入原方程,得 [y
*
(x)]"一3[y
*
(x)]’=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x. 比较方程两端的系数,得[*]解得A=1,B=0,即特解为y
*
(x)=x
2
.从而,原方程的通解为 y(x)=x
2
+C
1
+C
2
e
3x
,其中C
1
,C
2
为任意常数. (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ
2
+1=0,特征根为±i,所以其通解应为C,cosx+C
2
sinx;从而y"+y=2cosx的特解应具形式:y
*
(x)=Axcosx+Bxsinx.代入原方程,可求得A=0,B=1,即y
*
(x)=xsinx.故原方程的通解为 y(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+xsinx,其中C
1
,C
2
为任意常数. (Ⅲ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ
2
+4λ+5=0,特征根为一2±i,所以其通解应为 e
—2x
(C
1
cosx+C
2
sinx).又因3i不是特征根,所以方程y"+4y’+5y=40cos3x的特解应具有形式y
*
(x) =Acos3x+Bsin3x.代入原方程可得A=一1,B=3.这样就得到原方程的通解为 y(x)=e
—2x
(C
1
cosx+C
2
sinx)+3sin3x—cos3x,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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考研数学三
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