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  3. 求下列微分方程的通解： (Ⅰ) y"一3y’=2—6x； (Ⅱ) y"+y=2cosx； (Ⅲ) y"+4y’+5y=40cos3x．

求下列微分方程的通解： (Ⅰ) y"一3y’=2—6x； (Ⅱ) y"+y=2cosx； (Ⅲ) y"+4y’+5y=40cos3x．

admin2017-10-23  59
问题 求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)  y"一3y’=2—6x；  
(Ⅱ)  y"+y=2cosx；  
(Ⅲ)  y"+4y’+5y=40cos3x．
选项
答案(Ⅰ)先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为λ2—3λ=λ(λ一3)=0，故通解为 [*](x)=C1+C2e3x． 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y*(x)]"一3[y*(x)]’=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x． 比较方程两端的系数，得[*]解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为 y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数． (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C，cosx+C2sinx；从而y"+y=2cosx的特解应具形式：y*(x)=Axcosx+Bxsinx．代入原方程，可求得A=0，B=1，即y*(x)=xsinx．故原方程的通解为 y(x)=C1cosx+C2sinx+xsinx，其中C1，C2为任意常数． (Ⅲ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ2+4λ+5=0，特征根为一2±i，所以其通解应为 e—2x(C1cosx+C2sinx)．又因3i不是特征根，所以方程y"+4y’+5y=40cos3x的特解应具有形式y*(x) =Acos3x+Bsin3x．代入原方程可得A=一1，B=3．这样就得到原方程的通解为 y(x)=e—2x(C1cosx+C2sinx)+3sin3x—cos3x，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学三

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