设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.

admin2016-09-13  45

问题 设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.

选项

答案首先证明f(x)在(0,π)内必有零点. 因为在(0,π)内f(x)连续,且sinx>0,所以,若无零点,则恒有f(x)>0或f(x)<0,从而有∫0πf(x)sinxdx>0或∫0πf(x)sinxdx<0,与题设矛盾.所以f(x)在(0,π)内必有零点. 下面证明f(x)在(0,π)内零点不唯一,即至少有两个零点. 用反证法.假设f(x)在(0,π)内只有一个零点x0,则f(x)在(0,x0)和(x0,π)上取不同的符号(且不等于零),否则与∫0πf(x)sinxdx=0矛盾.这样,函数sin(x-x0)f(x)在(0,x0)和(x0,π)上取相同的符号,即恒正或恒负. 那么有:∫0πf(x)sin(x-x0)dx≠0.但是 ∫0πf(x)sin(x-x0)dx=∫0πf(x)(sinxcosx0-cosxsinx0)dx =cosx00πf(x)sinxdx-sinx00πf(x)cosxdx=0. 从而矛盾,所以f(x)在(0,π)内至少有两个零点.于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0,π),使得fˊ(ξ)=0.

解析
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