设α，β都是n维列向量时，证明 ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

admin2017-06-08 47

问题设α，β都是n维列向量时，证明
①αβ^T的特征值为0，0，…，0，β^Tα．
②如果α不是零向量，则α是αβ^T的特征向量，特征值为β^Tα．

选项

答案记A=αβ^T，则A²=αβ^Tαβ^T=(β^Tα)A，于是根据定理5．2的推论，A的特征值都满足等式λ²=(β^Tα)λ，即只可能是0和β^Tα．如果β^Tα=0，则A的特征值都是0．如果β^Tα≠0，则根据定理5．3的②，A的所有特征值之和为tr(A)=β^Tα，它们一定是n－1个为0，一个为β^Tα． ②仍记A=αβ^T，则Aα=αβ^Tα=(β^Tα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为β^Tα．

解析

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