2. 考研
  3. 设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ＝α1＋α2＋α3． ①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关． ②设α1，α2，α3的特征值依次为1，－1，2，记矩阵B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ

设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ＝α1＋α2＋α3． ①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关． ②设α1，α2，α3的特征值依次为1，－1，2，记矩阵B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ

admin2019-08-11  72
问题 设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ＝α1＋α2＋α3．
    ①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．
    ②设α1，α2，α3的特征值依次为1，－1，2，记矩阵B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ，求解线性方程组BX＝β．
选项
答案①设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3线性无关， γ＝α1＋α2＋α3， Aγ＝aα1＋bα2＋cα3， A2γ＝a2α1＋b2α2＋c2α3， A3γ＝a3α1＋b3α2＋c3α3， 则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为[*]， 其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)＝r(α1，α2，α3)＝3，因此γ，Aγ，A2γ无关． γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关． ②γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝α1－α2＋2α3，A2γ＝α1＋α2＋4α3，A3γ＝α1－α2＋8α3， B＝(γ，Aγ，A2γ)＝(α1，α2，α3)[*] β＝A3γ＝(α1，α2，α3)[*] 则BX＝β具体写出就是 [*] 由于α1，α2，α3线性无关，它和 [*] 同解．解此方程组得唯一解(－2，1，2)T．
解析
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考研数学二

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