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设α1,α2,α3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α1+α2+α3. ①证明γ,Aγ,A2γ线性无关,γ,Aγ,A2γ,A3γ线性相关. ②设α1,α2,α3的特征值依次为1,-1,2,记矩阵B=(γ,Aγ,A2γ),β=A3γ
设α1,α2,α3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α1+α2+α3. ①证明γ,Aγ,A2γ线性无关,γ,Aγ,A2γ,A3γ线性相关. ②设α1,α2,α3的特征值依次为1,-1,2,记矩阵B=(γ,Aγ,A2γ),β=A3γ
admin
2019-08-11
68
问题
设α
1
,α
2
,α
3
都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α
1
+α
2
+α
3
.
①证明γ,Aγ,A
2
γ线性无关,γ,Aγ,A
2
γ,A
3
γ线性相关.
②设α
1
,α
2
,α
3
的特征值依次为1,-1,2,记矩阵B=(γ,Aγ,A
2
γ),β=A
3
γ,求解线性方程组BX=β.
选项
答案
①设α
1
,α
2
,α
3
的特征值为a,b,c,由于它们两两不同,α
1
,α
2
,α
3
线性无关, γ=α
1
+α
2
+α
3
, Aγ=aα
1
+bα
2
+cα
3
, A
2
γ=a
2
α
1
+b
2
α
2
+c
2
α
3
, A
3
γ=a
3
α
1
+b
3
α
2
+c
3
α
3
, 则γ,Aγ,A
2
γ对α
1
,α
2
,α
3
的表示矩阵为[*], 其行列式为范德蒙行列式,并且(因为a,b,c两两不同)值不为0,于是r(γ,Aγ,A
2
γ)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,因此γ,Aγ,A
2
γ无关. γ,Aγ,A
2
γ,A
3
γ可以用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,因此线性相关. ②γ=α
1
+α
2
+α
3
,Aγ=α
1
-α
2
+2α
3
,A
2
γ=α
1
+α
2
+4α
3
,A
3
γ=α
1
-α
2
+8α
3
, B=(γ,Aγ,A
2
γ)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] β=A
3
γ=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 则BX=β具体写出就是 [*] 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,它和 [*] 同解.解此方程组得唯一解(-2,1,2)
T
.
解析
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0
考研数学二
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