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已知A是n阶矩阵,α1,α2,…,αs是n维线性无关向量组,若Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关,证明:A不可逆.
已知A是n阶矩阵,α1,α2,…,αs是n维线性无关向量组,若Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关,证明:A不可逆.
admin
2019-07-22
57
问题
已知A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,…,α
s
是n维线性无关向量组,若Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关,证明:A不可逆.
选项
答案
因Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关,故存在不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,使得 k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
s
Aα
s
=0, 即 A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)=Aξ=0. 其中ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
成立,因已知α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,对任意不全为零的k
1
,k
2
,…,k
s
有 ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
≠0, 而 Aξ=0。 说明线性方程组AX=0有非零解,从而|A|=0,A是不可逆矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ThN4777K
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考研数学二
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