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设f(x)在[0,c]上有定义,f’(x)存在且单调减少,f(0)=0,证明对于0≤a≤b≤a+b≤c,恒有f(a+b)≤f(a)+f(b).
设f(x)在[0,c]上有定义,f’(x)存在且单调减少,f(0)=0,证明对于0≤a≤b≤a+b≤c,恒有f(a+b)≤f(a)+f(b).
admin
2018-10-17
23
问题
设f(x)在[0,c]上有定义,f
’
(x)存在且单调减少,f(0)=0,证明对于0≤a≤b≤a+b≤c,恒有f(a+b)≤f(a)+f(b).
选项
答案
在[0,a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f
’
(ξ)(a一0),(0<ξ<a) 即有 f(a)=af
’
(ξ),(0<ξ<a) 再对f(x)在[b,a+b]上应用拉格朗日中值定理得 f(b+a)=f(b)+f
’
(η)a,(b<η<a+b) 因为f
’
(x)单调减少,且ξ<a≤b<η,则有f
’
(ξ)>f
’
(η),而a≥0,故af
’
(ξ)≥af
’
(η),于是 f(a+b)≤f(b)+af
’
(ξ)=f(b)+f(a).
解析
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高等数学一题库成考专升本分类
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高等数学一
成考专升本
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