设f(x)在[0，1]连续，且f(x)＜1，又F(x)=(2x一1)一∫0xf(t)dt，证明F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点．

admin2016-03-24 0

问题设f(x)在[0，1]连续，且f(x)＜1，又F(x)=(2x一1)一∫₀^xf(t)dt，证明F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点．

选项

答案∵f(x)在[0，1]上连续， ∴F(x)在[0，1]连续．又F(0)=一1＜0， [*] f(x)＜1，∴f(ε)＜1，从而F(1)＞0．由零点定理知F(x)在(0，1)内至少有一个零点．又F’(x)=2一f(x)＞0， ∴F(x)在[0，1]上严格单调增加，所以F(x)在(0，1)内最多只有一个零点，从而F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点．

解析

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