[2005年] 设α1,α2,α3均为三维列向量.记矩阵A=[α1,α2,α3],B=[α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3].如果∣A∣=1,那么∣B∣=_________.

admin2021-01-19  30

问题 [2005年]  设α1,α2,α3均为三维列向量.记矩阵A=[α1,α2,α3],B=[α123,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3].如果∣A∣=1,那么∣B∣=_________.

选项

答案将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式,再在等式两边取行列式;也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系,从而求出∣B∣. 解一 B=[α123,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3]=[α1,α2,α3][*]=AC,其中C=[*]为三阶范德蒙行列式,则∣C∣=2,故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2. 解二 用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数,找出∣A∣与∣B∣的关系,求出∣B∣. ∣B∣[*]∣α123,α2+3α3,α2+5α3∣ [*]∣α123,α2+3α3,2α3∣ [*]∣α123,α2,2α3∣=2∣α123,α2,α3∣ [*]2∣α1,α2,α3∣=2∣A∣=2.

解析
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