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[2005年] 设α1,α2,α3均为三维列向量.记矩阵A=[α1,α2,α3],B=[α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3].如果∣A∣=1,那么∣B∣=_________.
[2005年] 设α1,α2,α3均为三维列向量.记矩阵A=[α1,α2,α3],B=[α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3].如果∣A∣=1,那么∣B∣=_________.
admin
2021-01-19
51
问题
[2005年] 设α
1
,α
2
,α
3
均为三维列向量.记矩阵A=[α
1
,α
2
,α
3
],B=[α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+4α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
].如果∣A∣=1,那么∣B∣=_________.
选项
答案
将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式,再在等式两边取行列式;也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系,从而求出∣B∣. 解一 B=[α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+4α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
][*]=AC,其中C=[*]为三阶范德蒙行列式,则∣C∣=2,故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2. 解二 用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数,找出∣A∣与∣B∣的关系,求出∣B∣. ∣B∣[*]∣α
1
+α
2
+α
3
,α
2
+3α
3
,α
2
+5α
3
∣ [*]∣α
1
+α
2
+α
3
,α
2
+3α
3
,2α
3
∣ [*]∣α
1
+α
2
+α
3
,α
2
,2α
3
∣=2∣α
1
+α
2
+α
3
,α
2
,α
3
∣ [*]2∣α
1
,α
2
,α
3
∣=2∣A∣=2.
解析
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