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(1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
(1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
admin
2018-07-01
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问题
(1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
选项
答案
曲线y=y(x)在P(x,y)处的法线方程为 [*] 它与x轴的交点为Q(x+yy’,0),则法线段PQ的长度为 [*] 由题设可得微分方程为 [*] 由于曲线y=y(x)是向上凹的,则y">0,由此上式可改写为 yy"=1+y
’2
且当x=1时,y=1,y’=0. 令y’=p,则[*] 代入上面方程得 [*] 即 [*] 两边积分并注意到y=1时,p=0,得 [*] 代入[*]得 [*] 即 [*] 上式两边积分,并注意到x=1时y=1,得 [*] 因此,所求曲线方程为 [*] 将y移至右边再平方,整理得 [*]
解析
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考研数学一
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