(1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2018-07-01 32

问题 (1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案曲线y=y(x)在P(x，y)处的法线方程为 [*] 它与x轴的交点为Q(x+yy’，0)，则法线段PQ的长度为 [*] 由题设可得微分方程为 [*] 由于曲线y=y(x)是向上凹的，则y">0，由此上式可改写为 yy"=1+y^’2 且当x=1时，y=1，y’=0．令y’=p，则[*] 代入上面方程得 [*] 即 [*] 两边积分并注意到y=1时，p=0，得 [*] 代入[*]得 [*] 即 [*] 上式两边积分，并注意到x=1时y=1，得 [*] 因此，所求曲线方程为 [*] 将y移至右边再平方，整理得 [*]

解析

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考研数学一

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(1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

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