设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_．

admin2016-09-30 47

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e^—4x+x²+3x+2，则Q(x)=___________，该微分方程的通解为___________．

选项

答案Q(x)=2+2x+3—12(x²+3x+2)=一12x²一34x一19， y=C₁e^—4x+C₂e^3x+x²+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)

解析显然λ=一4是特征方程λ²+λ+q=0的解，故q=一12，
  即特征方程为λ²+λ一12=0，特征值为λ₁=一4，λ₂=3．
  因为x²+3x+2为微分方程y"+y’一12y=Q(x)的一个特解，
  所以Q(x)=2+2x+3—12(x²+3x+2)=一12x²一34x一19，
  且通解为y=C₁e^—4x+C₂e^3x+x²+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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