2. 考研
  3. 设f定义在(a，b)上．证明：若对(a，b)内任一收敛点列{xn}，极限f(xn)都存在，则f在(a，b)内一致连续．

设f定义在(a，b)上．证明：若对(a，b)内任一收敛点列{xn}，极限f(xn)都存在，则f在(a，b)内一致连续．

admin2022-11-23  5
问题 设f定义在(a，b)上．证明：若对(a，b)内任一收敛点列{xn}，极限f(xn)都存在，则f在(a，b)内一致连续．
选项
答案用反证法．若f在(a，b)上不一致连续，则[*]尽管｜x’-x”｜＜δ，但｜f(x’)-f(x”)｜≥ε0，取δn=1／n，可得x’n，x”n∈(a，b)，｜x’n-x”n｜＜1／n，但｜f(x’n)-f(x”n)｜≥ε0． 在[a，b]上对{x’n}应用致密性定理，存在子列 [*] 显然{zn}收敛，而[*]≥ε0，即{f(zn))不收敛，与题设矛盾，因而f在(a，b)上一致连续．
解析
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考研数学二

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