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求函数f(x,y)=x2+4y2+xy+2在区域D上的最大值与最小值, 其中D=。
求函数f(x,y)=x2+4y2+xy+2在区域D上的最大值与最小值, 其中D=。
admin
2020-05-09
54
问题
求函数f(x,y)=x
2
+4y
2
+xy+2在区域D上的最大值与最小值,
其中D=
。
选项
答案
区域D如图所示, [*] 函数f(x,y)=x
2
+4y
2
+xy+2在该区域上的最值问题分为两部分讨论,即边界上的条件极值及D内部的无条件极值。 [*] (1)L
1
:y=[*],将该条件代入f(x,y)=x
2
+4y
2
+xy+2,可得 [*], 求导得f
’
(x)=5x-5,解得驻点[*], 则[*]。 (2)L
2
:[*],令 F(x,y,λ)=x
2
+4y
2
+xy+2+[*], 求偏导,得 [*] 解得4组驻点[*],则 [*]。 (3)D内部, f(x,y)=x
2
+4y
2
+xy+2, 求此函数的驻点,[*] 解得驻点为(0,0),则f(0,0)=2。 通过比较可知,最大值为[*]=7,最小值为f(0,0)=2。
解析
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考研数学二
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