求函数f(x，y)＝x2＋4y2＋xy＋2在区域D上的最大值与最小值，其中D＝。

admin2020-05-09 39

问题求函数f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2在区域D上的最大值与最小值，
其中D＝

。

选项

答案区域D如图所示， [*] 函数f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2在该区域上的最值问题分为两部分讨论，即边界上的条件极值及D内部的无条件极值。 [*] (1)L₁：y＝[*]，将该条件代入f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2，可得 [*]，求导得f^’(x)＝5x－5，解得驻点[*]，则[*]。 (2)L₂：[*]，令 F(x，y，λ)＝x²＋4y²＋xy＋2＋[*]，求偏导，得 [*] 解得4组驻点[*]，则 [*]。 (3)D内部， f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2，求此函数的驻点，[*] 解得驻点为(0，0)，则f(0，0)＝2。通过比较可知，最大值为[*]＝7，最小值为f(0，0)＝2。

解析

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考研数学二

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设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b)∫abf(t)dt=∫abg(t)dt，证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足，又g(x，y)＝．
计算dχdy，其中D为曲线y＝lnχ与两直线y＝0，y＝(e＋1)－χ所围成的平面区域．
求f(x)=的x3的系数．
求曲线y=x2-2x、y=0、x=1、x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．
设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意x,f’(x)都存在，并求f(x)．
若连续函数满足关系式则f(x)=()
下述命题①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续．②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界．③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数
设f(x，y)为区域D内的函数，则下列命题中不正确的是()．

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