求函数f(x，y)＝x2＋4y2＋xy＋2在区域D上的最大值与最小值，其中D＝。

admin2020-05-09 62

问题求函数f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2在区域D上的最大值与最小值，
其中D＝

。

选项

答案区域D如图所示， [*] 函数f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2在该区域上的最值问题分为两部分讨论，即边界上的条件极值及D内部的无条件极值。 [*] (1)L₁：y＝[*]，将该条件代入f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2，可得 [*]，求导得f^’(x)＝5x－5，解得驻点[*]，则[*]。 (2)L₂：[*]，令 F(x，y，λ)＝x²＋4y²＋xy＋2＋[*]，求偏导，得 [*] 解得4组驻点[*]，则 [*]。 (3)D内部， f(x，y)＝x²＋4y²＋xy＋2，求此函数的驻点，[*] 解得驻点为(0，0)，则f(0，0)＝2。通过比较可知，最大值为[*]＝7，最小值为f(0，0)＝2。

解析

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