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求I=,其中S是椭球面=1,取外侧.
求I=,其中S是椭球面=1,取外侧.
admin
2016-10-26
23
问题
求I=
,其中S是椭球面
=1,取外侧.
选项
答案
作以原点为心,ε>0为半径的小球面S
ε
,ε>0充分小使S
ε
位于S所围的椭球内.记S与S
ε
所围的区域为Ω,S
ε
取Ω
ε
的内法向(即小球的外法向),见示意图10.14(用平面图示意立体图),在Ω
ε
上用高斯公式得 [*] [*]Pdydz+Qdzdx+Rdxdy. 由于在Ω
ε
上,P,Q,R有连续的一阶偏导数且[*]=0,于是 [*]
解析
直接计算较复杂,若把积分记为I=
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,容易验证
因此想到应用高斯公式.若椭球面S围成的区域记为Ω,它含原点(0,0,0),而P,Q,R在(0,0,0)无定义,因而不能在Ω上直接应用高斯公式.如果我们作以原点为心的小球面S
ε
位于Ω内,在S与S
ε
所围的区域Ω
ε
上就可用高斯公式,把求S上的曲面积分转化为S
ε
上的曲面积分.
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考研数学一
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