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  3. 求I=，其中S是椭球面=1，取外侧．

求I=，其中S是椭球面=1，取外侧．

admin2016-10-26  29
问题 求I=，其中S是椭球面=1，取外侧．
选项
答案作以原点为心，ε＞0为半径的小球面Sε，ε＞0充分小使Sε位于S所围的椭球内．记S与Sε所围的区域为Ω，Sε取Ωε的内法向(即小球的外法向)，见示意图10．14(用平面图示意立体图)，在Ωε上用高斯公式得 [*] [*]Pdydz+Qdzdx+Rdxdy． 由于在Ωε上，P，Q，R有连续的一阶偏导数且[*]=0，于是 [*]
解析 直接计算较复杂，若把积分记为I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，容易验证

因此想到应用高斯公式．若椭球面S围成的区域记为Ω，它含原点(0，0，0)，而P，Q，R在(0，0，0)无定义，因而不能在Ω上直接应用高斯公式．如果我们作以原点为心的小球面Sε位于Ω内，在S与Sε所围的区域Ωε上就可用高斯公式，把求S上的曲面积分转化为Sε上的曲面积分．
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考研数学一

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