2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A＝(α1，α2，α3，α4)，若Aχ＝β的通解为(－1，1，0，2)T＋k(1，－1，2，0)T，则 (Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大

设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A＝(α1，α2，α3，α4)，若Aχ＝β的通解为(－1，1，0，2)T＋k(1，－1，2，0)T，则 (Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么? (Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大

admin2017-11-09  77
问题 设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A＝(α1，α2，α3，α4)，若Aχ＝β的通解为(－1，1，0，2)T＋k(1，－1，2，0)T，则
    (Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么?
    (Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．
选项
答案(Ⅰ)假设可以，即β＝k1α1＋k2α2＋k3α3，则（k1，k2，k3，0）T是Aχ＝β的解． 从而(k1，k2，k3，0)T－(－1，1，0，2)T＝(k1＋1，k2－1，k3，－2)T就是Aχ＝0的解． 但是显然(k1＋1，k2－1，k3－2)T和(1，－1，2，0)T线性无关． 所以β不可以由α1，α2，α3线性表示． (Ⅱ)因为(－1，1，0，2)T是Aχ＝β的解，则β＝－α1＋α2＋2α4． 又因为(1，－1，2，0)T是Aχ＝0的解，则α1－α2＋α3＝0． 所以，β和α3都可由α1，α2，α4线性表示． 又由R(α1，α2，α3，α4，β)＝R(α1，α2，α3，α4)＝3，所以，α1，α2，α4是极大无关组．
解析
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考研数学三

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