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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
admin
2018-01-30
40
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3)。
证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,x∈[0,2]。由于f(x)在[0,2]上连续,所以可知F(x)在[0,2]上可导,由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(0,2),使得f(η)=[*],即 2f(η)=∫
0
2
f(x)dx, 所以f(η)=f(0)。
解析
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0
考研数学二
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[*]
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