设fn(x)=x+x2+…+xn,n=2,3,…. (1)证明:方程fn(x)=1在[0,+∞)有唯一实根xn; (2)求.

admin2016-09-13  27

问题 设fn(x)=x+x2+…+xn,n=2,3,….
(1)证明:方程fn(x)=1在[0,+∞)有唯一实根xn
(2)求

选项

答案(1)fn(x)连续,且fn(0)=0,fn(1)=n>1,由介值定理,[*]xn∈(0,1),使fn(xn)=1,n=2,3,…,又x>0时,fˊn(x)=1+2x+…+nxn-1>0,故fn(x)严格单增,因此xn是fn(x)=1在[0,+∞)内的唯一实根. (2)由(1)可得,xn∈(0,1),n=2,3,…,所以{xn}有界. 又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1),n=2,3,…,所以 xn+xn2+…+xnn=xn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1, 即(xn+xn2+…+xnn)-(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1>0,因此xn>xn+1,n=2,3,…,即{xn}严格单调减少.于是由单调有界准则知[*]存在,记[*]=A,由xn+xn2+…+xnn=1得[*]=1.因为0<xn<x2<1,所以[*]=0,于是[*]=1,解得A=[*].

解析
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