设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sin｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )

admin2018-01-30 58

问题设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sin｜)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )

选项 A、充分必要条件。
B、充分条件但非必要条件。
C、必要条件但非充分条件。
D、既非充分条件也非必要条件。

答案A

解析令φ(x)=f(x)｜sinx｜，显然φ(0)=0。由于
φ_＋^’(0)=

=f(0)，
φ_－^’(0)=

=一f(0)。
而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ_＋^’(0)与φ_－^’(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，则必有φ_＋^’(0)=φ_－^’(0)；若φ_＋^’(0)=φ_－^’(0)，即有f(0)=一f(0)，从而f(0)=0。
因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件。故选A。

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