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有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。(注:m表
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。(注:m表
admin
2019-06-09
22
问题
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分。)
求曲线x=φ(y)的方程。
选项
答案
液面的高度为y时,液体的体积为 π∫
0
y
φ
2
(u)du=3t=3φ
2
(y)-12。 上式两边对y求导,得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ’(y), 即πφ(y)=6φ’(y), 解此微分方程,得 φ(y)=Ce
π/6y
,其中C为任意常数, 由φ(0)=2知C=2,故所求曲线方程为x=2e
π/6y
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UYV4777K
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考研数学二
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