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下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容，据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个
下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容，据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个
admin
2019-06-10
59
问题
下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容，据此回答下列问题。
等比数列的前n项和
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约6亿t，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。
让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
一般地，对于等比数列
a
1
，a
2
，a
3
…，a
n
，…，
它的前n项和是
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
，
根据等比数列的通项公式，上式可写成
S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n－1
。 ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qS
n
=a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n－1
+a
1
q
n
， ②
①②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得
(1－q)S
n
=a
1
－a
1
q
n
。
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
S
n
=
(q≠1)
因为a
n
=a
1
q
n－1
，所以上面的公式还可以写成
S
n
=
(q≠1)
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题，由a
1
=1，q=2，n=64，可得
S
64
=
=2
64
－1
2
64
－1这个数很大，超过了1．84×10
19
，估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。
问题：
在等比数列前n项和公式推导的过程中用了什么方法，说明应用这种方法的条件。
选项
答案
在等比数列前n项和公式推导过程中用的方法是“错位相减法”。错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。比如，在教材中，等比数列前n项和公式推导过程中。表示出等比数列{a
n
}前n项和S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n－1
，注意到S
n
的各项是等差数列(a
1
，a
1
，…，a
1
)和等比数列(1，q，q
2
，…，q
n－1
)的形式，所以在等式两边同时乘以等比数列的公比q，即qS
n
，然后错一位，两式相减即可。
解析
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