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下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个
下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个
admin
2019-06-10
37
问题
下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。
等比数列的前n项和
国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了,假定千粒麦子的质量为40g,据查,目前世界年度小麦产量约6亿t,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言。
让我们一起来分析一下,如果把各格所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
一般地,对于等比数列
a
1
,a
2
,a
3
…,a
n
,…,
它的前n项和是
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,
根据等比数列的通项公式,上式可写成
S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
。 ①
我们发现,如果用公比q乘①的两边,可得
qS
n
=a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
+a
1
q
n
, ②
①②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,得
(1-q)S
n
=a
1
-a
1
q
n
。
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
S
n
=
(q≠1)
因为a
n
=a
1
q
n-1
,所以上面的公式还可以写成
S
n
=
(q≠1)
有了上述公式,就可以解决本节开头提出的问题,由a
1
=1,q=2,n=64,可得
S
64
=
=2
64
-1
2
64
-1这个数很大,超过了1.84×10
19
,估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨,因此,国王不能实现他的诺言。
问题:
在等比数列前n项和公式推导的过程中用了什么方法,说明应用这种方法的条件。
选项
答案
在等比数列前n项和公式推导过程中用的方法是“错位相减法”。错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。比如,在教材中,等比数列前n项和公式推导过程中。表示出等比数列{a
n
}前n项和S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
,注意到S
n
的各项是等差数列(a
1
,a
1
,…,a
1
)和等比数列(1,q,q
2
,…,q
n-1
)的形式,所以在等式两边同时乘以等比数列的公比q,即qS
n
,然后错一位,两式相减即可。
解析
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数学学科知识与教学能力
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