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设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．
设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．
admin
2019-03-14
76
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．
选项
A、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
B、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关．
C、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
D、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关．
答案
A
解析
本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：
因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，所以存在不全为0的数c
1
，c
2
，…，c
s
使得
c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0，
用A左乘等式两边，得
c
1
Aα
1
+c
2
Aα
2
+…+c
s
Aα
s
=0，
于是Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：
1．α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关
r(α
1
，α
2
，…，α
s
)=s．
2．r(AB)≤r(B)．
矩阵(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)=A(α
1
，α
2
，…，α
s
)，因此
r(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)．
于是，若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，有r(α
1
，α
2
，…，α
s
)＜s，从而r(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)＜s，Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
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考研数学二
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