设A，B均为正定矩阵，则( )

admin2019-08-12 26

问题设A，B均为正定矩阵，则( )

选项 A、AB，A+B都正定。
B、AB正定，A+B非正定。
C、AB非正定，A+B正定。
D、AB不一定正定，A+B正定。

答案D

解析由A，B均为正定矩阵可知，对任意x≠0，总有x^TAx＞0，x^TBx＞0，于是x^T(A+B)x=x^TAx+x^TBx＞0，所以A+B正定。
因为矩阵的乘法不满足交换律，所以AB不一定是对称矩阵，于是AB不一定正定。例如：A=

，则A，B均为正定矩阵，但AB≠BA，即AB不是对称矩阵，所以AB不是正定矩阵，故选D。

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