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  3. 设A，B均为正定矩阵，则( )

设A，B均为正定矩阵，则( )

admin2019-08-12  51
问题 设A，B均为正定矩阵，则(    )
选项 A、AB，A+B都正定。
B、AB正定，A+B非正定。
C、AB非正定，A+B正定。
D、AB不一定正定，A+B正定。
答案D
解析 由A，B均为正定矩阵可知，对任意x≠0，总有xTAx＞0，xTBx＞0，于是xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，所以A+B正定。
因为矩阵的乘法不满足交换律，所以AB不一定是对称矩阵，于是AB不一定正定。例如：A=，则A，B均为正定矩阵，但AB≠BA，即AB不是对称矩阵，所以AB不是正定矩阵，故选D。
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考研数学二

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