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(1999年)设向量组α1=[1,1,1,3]T,α2=[-1,-3,5,1]T,α3=[3,2,-1,p+2]T,α4=[-2.-6,10,p]T. (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4,1,6,10]T用α1,α2,α3,α4线性
(1999年)设向量组α1=[1,1,1,3]T,α2=[-1,-3,5,1]T,α3=[3,2,-1,p+2]T,α4=[-2.-6,10,p]T. (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4,1,6,10]T用α1,α2,α3,α4线性
admin
2018-07-30
34
问题
(1999年)设向量组α
1
=[1,1,1,3]
T
,α
2
=[-1,-3,5,1]
T
,α
3
=[3,2,-1,p+2]
T
,α
4
=[-2.-6,10,p]
T
.
(1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4,1,6,10]
T
用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
(2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
选项
答案
对矩阵A=[α
1
α
2
α
3
α
4
┆α]作初等行变换: [*] (1)当p≠2时,矩阵[α
1
α
2
α
3
α
4
]的秩为4,即向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.此时设α=x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
.解得 x
1
=2,x
2
=[*],x
3
=1,x
4
=[*] 即有α=2α
1
+[*]α
2
+α
3
+[*]α
1
. (2)当p=2时,向量组α
1
α
2
α
3
α
4
线性相关.此时该向量组的秩为3.α
1
,α
2
,α
3
(或α
1
,α
3
,α
4
)为其一个极大线性无关组.
解析
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考研数学二
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