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  3. 求二阶微分方程y〞＋yˊ－ex＝0的通解

求二阶微分方程y〞＋yˊ－ex＝0的通解

admin2019-08-30  56
问题 求二阶微分方程y〞＋yˊ－ex＝0的通解
选项
答案此微分方程属于y〞＝f（x，yˊ）型，令p＝yˊ，代入原方程得pˊ＋p－ex＝0，即pˊ＋p＝ex，该方程对应的齐次微分方程为pˊ＋p＝0，分离变量并积分dp／p＝－dx，p＝C1e－x，利用常数变易法，令p＝u(x)e－x，则pˊ＝uˊ(x)e－x－u(x)e－x，将pˊ及p代入微分方程pˊ＋ p＝ex得，uˊ(x)e－x＝ex，即uˊ(x)＝e2x，积分得u(x)＝1／2e2x＋C1，则p＝（1／2e2x＋C1）e－x＝1／2ex＋C1e－x．即yˊ＝1／2ex＋C1e－x．则原微分方程的通解为y＝1／2ex－C1e－x＋C2．
解析
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