2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明： 存在η∈(a,b),使得f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0.

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明： 存在η∈(a,b),使得f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0.

admin2021-11-25  49
问题 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明：
存在η∈(a,b),使得f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案令g(x)=e-xf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0 由罗尔定理，存在η1∈（a,c),η2∈(c,b),使得g’（η1）=g’（η2）=0 而g’(x)=e-x[f’(x)－f(x)]且e-x≠0,所以f’(η1)－f(η1)=0,f’(η2)－f(η2)=0 令ψ(x)=e-2x[f’(x)－f(x)]，ψ(η1)=ψ(η2)=0 由罗尔定理，存在η∈（η1，η2）[*](a,b),使得ψ’（η）=0 而ψ’(x)=e-2x[f"(x)－3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0 所以f"(η)－3f’（η）+2f(η)=0
解析
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考研数学二

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