2. 考研
  3. (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f＋’(0)

(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f＋’(0)

admin2020-03-16  109
问题 (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)；
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f＋’(0)存在，且f＋’(0)=A。
选项
答案(I)作辅助函数φ(x)=f(x)一f(a)一[*](x一a)，易验证φ(x)满足： φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且 φ’(x)=f’(x)一[*]。 根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ’(ξ)=0，即 f’(ξ)一[*]=0， 所以f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)。 (Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此 由拉格朗日中值定理可得，存在ξx0∈(0，x0)[*](0，δ)，使得 f’(ξx0)=[*]。 (*) 又由于[*]=A，对(*)式两边取x0→0＋时的极限： f＋’(0)=[*]=A， 故f＋’(0)存在，且f＋’(0)=A。
解析
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考研数学二

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