设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2016-04-11 54

问题设向量组α₁，…，α_r线性无关，又
β₁=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+a_r1α_r
β₂=a₁₂α₁+a₂₂α₂+…+a_r2α_r，
…
β_r=a_1rα₁+a_2rα₂+…+a_rrα_r
记矩阵A=(a_ij)_r×r，证明：β₁，β₂，…，β_s线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．

选项

答案不妨设α_j及β_j均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β₁ β₂ …β_r]=[α₁，α₂，…，α_r]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β₁ β₂ …β_s]及P=[α₁，α₂，…，α_r]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若x满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r一r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β₁ …β_r线性无关→r[β₁ β₂ …β_r]=r[*]｜A｜≠0．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

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证明：当x＞0时，(x2－1)lnx≥（x－1)2.

设f(x)在[a,b]上连续，且f"(x)＞0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0＜λ＜1，证明：f[λx1+(1－λ)x2]≤λf(x1)+(1－λ)f(x2).

设D={(x，y)｜x2+y2≤t2，x≥0，y≥0，t≥0}，f(x)是连续函数，f(0)=0，且满足，求f(x)在[0，+∞)上的表达式。

设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

设曲线y＝k(1－x2)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________

下列命题①设与均存在，则f(x)在x=x0处必连续．②设f-’(x0)与f+’(x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续．③设f(x0-)与f(x0+)均存在，则f(x)在x=x0处必连续．④设与中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0必不可导．

斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水的压力为________．

设随机变量X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量y服从参数为(3，p)的二项分布，若P丨x≥1丨=5/9，则P丨Y≥1丨=_________.

下列代码将对象写入的设备是()。ByteArrayOutputStreambout=newByteArrayOut—putStream();ObjeetOutputStreamout=newObjectOutputStream(bout);

阳气旺盛、内火偏重的人比较适用_______。

物质资料生产方式之所以是社会存在和发展的基础，原因在于___、_、_、___。

患者，女性，30岁，变色。患牙无自发痛和冷热刺激痛史。2年前，患牙曾有外伤史，未做过治疗。检查：牙冠完整，呈暗黄色，无光泽，叩痛(一)，温度及电活力测验无反应，X线片未见根尖周明显异常。患牙应当诊断为

按照合同所包括的工程范围以及承包关系的不同划分,合同可分为()。

从下列各项活动的内容看，属于公安机关保护公共财产和个人合法财产的有()。

反诉，是指在已经提起的诉讼中，被告针对与原诉有联系的行为，提起独立诉讼请求的行为。下列行为属于反诉的是()。

怎样理解教育是一种投资、一种“人力资本”?忽视教育的人力资本意义或仅仅把教育看做人力资本的观念在教育界、社会上有何表现?它们都是对的吗?

下列关于法的作用，不正确的说法有()。

大投资的所谓巨片的票房收入，一般是影片制作与商业宣传总成本的2—3倍。但是电影产业的年收入大部分来自中小投资的影片。以下哪项如果为真，最能解释题干的现象?

设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

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证明：当x＞0时，(x2－1)lnx≥（x－1)2.

设f(x)在[a,b]上连续，且f"(x)＞0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0＜λ＜1，证明：f[λx1+(1－λ)x2]≤λf(x1)+(1－λ)f(x2).

设D={(x，y)｜x2+y2≤t2，x≥0，y≥0，t≥0}，f(x)是连续函数，f(0)=0，且满足，求f(x)在[0，+∞)上的表达式。

设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

设曲线y＝k(1－x2)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________

下列命题①设与均存在，则f(x)在x=x0处必连续．②设f-’(x0)与f+’(x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续．③设f(x0-)与f(x0+)均存在，则f(x)在x=x0处必连续．④设与中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0必不可导．

斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水的压力为________．

设随机变量X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量y服从参数为(3，p)的二项分布，若P丨x≥1丨=5/9，则P丨Y≥1丨=_________.

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物质资料生产方式之所以是社会存在和发展的基础，原因在于_______、_______、_______、_______。

患者，女性，30岁，变色。患牙无自发痛和冷热刺激痛史。2年前，患牙曾有外伤史，未做过治疗。检查：牙冠完整，呈暗黄色，无光泽，叩痛(一)，温度及电活力测验无反应，X线片未见根尖周明显异常。患牙应当诊断为

按照合同所包括的工程范围以及承包关系的不同划分,合同可分为()。

从下列各项活动的内容看，属于公安机关保护公共财产和个人合法财产的有()。

反诉，是指在已经提起的诉讼中，被告针对与原诉有联系的行为，提起独立诉讼请求的行为。下列行为属于反诉的是()。

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下列关于法的作用，不正确的说法有()。

大投资的所谓巨片的票房收入，一般是影片制作与商业宣传总成本的2—3倍。但是电影产业的年收入大部分来自中小投资的影片。以下哪项如果为真，最能解释题干的现象?

物质资料生产方式之所以是社会存在和发展的基础，原因在于___、_、_、___。