设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2016-04-11 43

问题设向量组α₁，…，α_r线性无关，又
β₁=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+a_r1α_r
β₂=a₁₂α₁+a₂₂α₂+…+a_r2α_r，
…
β_r=a_1rα₁+a_2rα₂+…+a_rrα_r
记矩阵A=(a_ij)_r×r，证明：β₁，β₂，…，β_s线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．

选项

答案不妨设α_j及β_j均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β₁ β₂ …β_r]=[α₁，α₂，…，α_r]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β₁ β₂ …β_s]及P=[α₁，α₂，…，α_r]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若x满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r一r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β₁ …β_r线性无关→r[β₁ β₂ …β_r]=r[*]｜A｜≠0．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

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设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=f(ξ).

设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’(1)≠1,则=________.

设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。证明：方程F(x)=x在(0，1)内有唯一实根ξ

设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(0)≤0，证明：存在ξ1∈(-∞，0)，ξ2∈(0，+∞)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=2020

设A是4×5矩阵，ξ1=[1，一1，1，0．0]T，ξ2=[一1，3，一1，2，0]T，ξ3=[2，1，2，3，0]T，ξ4=[1，0，一1，1，一2]T，ξ5=[-2，4，3，2，5]T都是齐次线性方程组Ax=0的解，且Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ

设x→0时，-(ax2+bx+c)是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c是常数，则()．

以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x为通解的常系数齐次线性微分方程可以为()

设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，则该微分方程为()．

设甲袋中有9个白球，1个黑球；乙袋中有10个白球．每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求：这样的交换进行了3次，黑球仍在甲袋中的概率p3；

Tobestprotectthreatenedplants,inefficientnationalparksshouldbesoldoffandtheproceedsusedtobuymorecost-effectiv

联系会计理论和会计工作的纽带与桥梁是()

第二次世界大战以后，资本国际化的主要形式变为()

凡肝阳、肝风所致诸证，无论寒热虚实皆宜选用的中药是（　　）。

禁止性补贴是指不允许成员方政府实施的补贴,一旦实施,任何受其影响的其他成员方可以直接采取反补贴措施。()

《普通高中思想政治课程标准(2017年版)》中，对必修课程设置了4个模块，共6个学分。下列属于必修模块内容的是()。①“中国特色社会主义”“经济与社会”②“经济生活”“政治生活”③“政治与法治”“哲学与文化

联系当前实际，论述以宪法为核心的社会主义法律体系的完善。

江泽民在“5．31”讲话指出，坚持与时俱进一定要看到

ACountry’sStandardofLivingThe"standardofliving"ofanycountrymeanstheaverageperson’sshareofthegoodsandserv

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设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’(1)≠1,则=________.

设f(x)在[0，1]可导，0＜f’(x)＜1，0＜f(x)＜1，且F(x)=1/2[x+f(x)]。证明：方程F(x)=x在(0，1)内有唯一实根ξ

设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(0)≤0，证明：存在ξ1∈(-∞，0)，ξ2∈(0，+∞)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=2020

设A是4×5矩阵，ξ1=[1，一1，1，0．0]T，ξ2=[一1，3，一1，2，0]T，ξ3=[2，1，2，3，0]T，ξ4=[1，0，一1，1，一2]T，ξ5=[-2，4，3，2，5]T都是齐次线性方程组Ax=0的解，且Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ

设x→0时，-(ax2+bx+c)是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c是常数，则()．

以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x为通解的常系数齐次线性微分方程可以为()

设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，则该微分方程为()．

设甲袋中有9个白球，1个黑球；乙袋中有10个白球．每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求：这样的交换进行了3次，黑球仍在甲袋中的概率p3；

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