设向量组α1,…,αr线性无关,又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr, … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r,证明:β1,β2

admin2016-04-11  35

问题 设向量组α1,…,αr线性无关,又
    β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr
    β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr
    …
    βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr
记矩阵A=(aij)r×r,证明:β1,β2,…,βs线性无关的充分必要条件是A的行列式|A|≠0.

选项

答案不妨设αj及βj均为n维列向量(j=1,2,…,r),则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β1 β2 …βr]=[α1,α2,…,αr]A 或 B=PA,…(*) 其中B=[β1 β2 …βs]及P=[α1,α2,…,αr]均为n×r矩阵,且矩阵P的列向量组线性无关.于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解;若x满足Ax=0,两端左乘P并利用PA=B,得Bx=0;若x满足Bx=0,即PAx=0,或P(Ax)=0,因P的列向量组线性无关,得Ax=0,所以,Ax=0与Bx=0同解,→它们的基础解系所含向量个数相等,即r一r(A)=r—r(B),→r(A)=r(B).所以,向量组β1 …βr线性无关→r[β1 β2 …βr]=r[*]|A|≠0.

解析
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