设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2016-04-11 26

问题设向量组α₁，…，α_r线性无关，又
β₁=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+a_r1α_r
β₂=a₁₂α₁+a₂₂α₂+…+a_r2α_r，
…
β_r=a_1rα₁+a_2rα₂+…+a_rrα_r
记矩阵A=(a_ij)_r×r，证明：β₁，β₂，…，β_s线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．

选项

答案不妨设α_j及β_j均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β₁ β₂ …β_r]=[α₁，α₂，…，α_r]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β₁ β₂ …β_s]及P=[α₁，α₂，…，α_r]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若x满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r一r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β₁ …β_r线性无关→r[β₁ β₂ …β_r]=r[*]｜A｜≠0．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

考研数学一

设三阶矩阵A的特征值为－1，－1，3，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α1+α2，α1－α2，2α3)，则P－1A*P=()．

(Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f′(x0)g′(x0)＜0，求证：x=x0是f(x)g(x)的极大值点．(Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞，+∞))的值域区间

设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a、β、γ和此方程的通解．

设z=z(x，y)是由f(y－x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求

设A，B均为n阶方阵，｜A｜=2，｜B｜=－3，则｜A－1B－AB－1｜=__________．

已知y”+(x+3e2y)(y’)3=0(y’≠0)，当把y视为自变量，而把x视为因变量时：求方程化成的新形式；

计算曲面积分，其中∑是面x2+y2+z2=1的外侧．

设三阶常系数其次线性微分方程有特解y1=ex,y2=2xex,y3=3e-x,则该微分方程为（）。

(2009年试题，22)袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数．求P{X=1｜Z=0}；

Everymorning,kidsfromalocalhighschoolareworkinghard.Theyaremakingandsellingspecialcoffeeatacoffeecafe.They

患有不治之症且濒临死亡而又极度痛苦的病人，医生停止采用人工干预方式抢救而缩短病人痛苦的死亡过程称为

公司型基金转让标的企业股权获得的收入是()。

8，48，120，224，360，()。

旅行社取得经营许可满()年，且未因侵害旅游者合法权益受到行政机关罚款以上处罚的，可以申请经营出境旅游业务。

残疾人社会工作通常在()开展。

所给处的图、表、文字或综合性资料均有若干个问题要你回答。你应根据资料提供的信息进行分析、比较、计算和判断处理。根据下表回答下面问题　2006年财政科技拨款情况

打造中国经济的升级版

FlatswerealmostunknowninBritainuntilthe1850swhentheyweredeveloped,alongwithotherindustrialdwellings,forthela

Weallknowthatemotionsoriginateinthebrain.Butweusuallytalkaboutouremotionscomingfromourhearts.Ifsomeoneyou

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(Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f′(x0)g′(x0)＜0，求证：x=x0是f(x)g(x)的极大值点．(Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞，+∞))的值域区间

设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a、β、γ和此方程的通解．

设z=z(x，y)是由f(y－x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求

设A，B均为n阶方阵，｜A｜=2，｜B｜=－3，则｜A－1B*－A*B－1｜=__________．

已知y”+(x+3e2y)(y’)3=0(y’≠0)，当把y视为自变量，而把x视为因变量时：求方程化成的新形式；

计算曲面积分，其中∑是面x2+y2+z2=1的外侧．

设三阶常系数其次线性微分方程有特解y1=ex,y2=2xex,y3=3e-x,则该微分方程为（）。

(2009年试题，22)袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数．求P{X=1｜Z=0}；

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8，48，120，224，360，()。

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